Definisi Eksponen

Misalkan $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif. Notasi $a^n$ menyatakan hasil kali bilangan $a$ sebanyak $n$ faktor, dapat ditulis $a^n= \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \space factor}$ dengan $a$ sebagai basis bilangan berpangkat dan $n$ sebagai pangkat.

Contoh :

1. $a^3=a \times a \times a$

2. $(a \times b)^3=(a \times b)\times(a \times b)\times(a \times b)=a^3 \times b^3$

3. $(\frac{a}{b})^3=(\frac{a}{b})\times (\frac{a}{b}\times (\frac{a}{b}=\frac{a\times a\times a}{b\times b\times b}=\frac{a^3}{b^3}$

Sifat-sifat Eksponen

1) $a^m \times a^n = a^{m+n}$

Dalam bentuk perkalian, pangkatnya ditambah

Contoh :

• $2^2 \times 2^3=2^{2+3}=2^7$

• $4^3 \times 4^4=4^{3+4}=4^7$

• $x^5 \times x^4=x^{5+4}=x^9$

Ingat bahwa rumus diatas berlaku untuk bilangan pokok yang sama. Jika berbeda, pangkatnya tidak bisa langsung ditambah. Solusinya adalah buat bilangan pokoknya menjadi sama terlebih dahulu.

Contoh :

• $2^5 \times 8= 2^5 \times 2^3=2^{5+3}=2^8$

• $81 \times 9^3=9^2\times 9^3=9^{2+3}=9^5$

$\space$

2) $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Dalam bentuk pembagian bilangan pokok yang sama, pangkatnya dikurang

Contoh :

• $\frac{2^7}{2^5}=2^{7-5}=2^2$

• $\frac{x^{12}}{x^6}=x^{12-6}=x^6$

$\space$

3) $(a^m)^n=a^{m\times n}$

Bentuk pangkat yang dipangkatkan lagi, pangkatnya dikali

• $(3^2)^5=3^{2 \times 5}=3^{10}$

• $(y^5)^3=y^{5\times 3}=5^{15}$

$\space$

4) $a^m \times b^m=(a\times b)^m$

Kalau pangkatnya sama, bilangan pokok dikali secara langsung, tetapi pangkatnya dikeluarkan

Contoh :

• $5^2 \times3^2=(5 \times 3)^2=15^2=225$

• $16\times 9=4^2\times 3^2=(4\times 3)^2=12^2=144$

$\space$

5) $\frac{a^m}{b^m}=\left( \frac{a}{b} \right)^m$

Kalau pangkatnya sama, bilangan pokok dibagi secara langsung, tetapi pangkatnya dikeluarkan

Contoh :

• $\frac{5^3}{3^3}=\left( \frac{5}{3} \right)^3$

• $\frac{x^2}{y^2}=\left( \frac{x}{y} \right)^2$

$\space$

6) $a^{-m}=\left( \frac{1}{a} \right)^m$

Berikut penjelasan rumus diatas :

$a^{-m}=\left( \frac{1}{a} \right)^m = \underbrace {\left( \frac{1}{a} \right) \times \left( \frac{1}{a} \right) \times\left( \frac{1}{a} \right) \times \left( \frac{1}{a} \right) \times \cdots \times \left( \frac{1}{a} \right)}_{sebanyak \space m \space faktor}$

$a^{-m}=\frac{1}{\underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{m \space factor}}= \frac{1}{a^m}$

Contoh :

1. Sederhanakanlah $4^{-3}$

2. Jika $x=-2$ dan $y=2$, tentukan nilai $x^{-3}(y^4)$

3. Berapakah nilai dari $\frac{1}{3^{-3}}$

Penyelesaian :

1. $4^{-3}=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{4 \times 4 \times 4}=\frac{1}{64}$

2. $x^{-3}(y^4)=\frac{y^4}{x^3}=\frac{2^4}{(-2)^3}=\frac{16}{-8}=-2$

3. $\frac{1}{3^{-3}}=3^3=27$

$\space$

7) $a^0=1$

Untuk $a$ bilangan real dan $a \ne 0$

$a^0=a^{n-n}$

$a^0=\frac{a^n}{a^n}$

$a^0=1$

$\space$

8) $a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$

Berbicara pangkat pecahan sama saja dengan mengerjakan bentuk akar.

Contoh :

• $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

• $3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}$

• $2^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}$

• $x^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{x^n}$

$\space$

Contoh Soal

1. Sederhanakanlah $2a^3\times 8a^5$

$$2a^3\times 8a^5=2a^3\times 2^3a^5=2^{1+3}a^{3+5}=2^4a^8$$

$\space$

2. Sederhanakanlah $\frac{x^9:x^5}{x^8}$ $$\frac{x^9:x^5}{x^8}=\frac{x^{9-5}}{x^8}=\frac{x^4}{x^8}=x^{4-8}=x^{-4}=\frac{1}{x^4}$$

$\space$

3. Sederhanakanlah $64^2 \times 4^{-9}$ $$16^2 \times 4^{-9}=(4^2)^2\times 4^{-9}=4^{2 \cdot 2}\times 4^{-9}=4^4\times 4^{-9}=4^{4+(-9)}=4^{-5}=\frac{1}{4^5}$$

$\space$

4. Sederhanakanlah $\sqrt[3]{64x^2y^4}$ $$\sqrt[3]{2^6x^2y^4}=2^{\frac{6}{3}}x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}=2^2x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}=4x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}$$

$\space$

5. Tulis dalam bentuk pangkat $25x^3\times 125x^7 : 5x^4$ $$\frac{5^2x^3\times 5^3x^7}{5x^4}=\frac{5^5x^{10}}{5x^4}=5^3x^6=125x^6$$

$\space$

6. Sederhanakanlah $\frac{x^{-2}yz^3}{xy^2z^{-1}}$ $$x^{-2-1}y^{1-2}z^{3-(-1)}=x^{-3}y^{-1}z^4$$ $$\frac{1}{x^3}\cdot \frac{1}{y}\cdot z^4=\frac{z^4}{x^3y}$$

$\space$

7. Sederhanakanlah $\frac{(8y^3)^2}{2y^2}$ $$\frac{(2^3y^3)^2}{2y^2}=\frac{2^6y^6}{2y^2}=2^5y^4=32y^4$$

$\space$

8. Hitunglah $\frac{243^{\frac{2}{5}}+(\frac{1}{4})^{-2}}{25^{\frac{1}{2}}}$ $$\frac{(3^5)^{\frac{2}{5}}+(\frac{1}{2^2})^{-2}}{(5^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{10}{5}}+(2^{-2})^{-2}}{5^{\frac{2}{2}}}=\frac{3^2+2^4}{5}=\frac{25}{5}=5$$

$\space$

9. Sederhanakan $(y^3(y^{-2}(y^2\sqrt{y})^2)^{-1})$ $$(y^3(y^{-2}(y^4\cdot y)^{-1})=(y^3(y^{-2+4+1})^{-1})=(y^3(y^3)^{-1})$$

$$=(y^3(y^{-3}))=y^{3-3}=y^0=1$$

$\space$

10. Sederhanakan dalam pangkat positif $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{5}{6}} }+\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{- \frac{5}{6}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ $$x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{-\frac{5}{6}}+2 \cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{- \frac{5}{6}}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$$

$$=x^{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{5}{6}}+2\cdot x^{\frac{1}{2}-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}}$$

$$=x^{\frac{3-4-5}{6}}+2\cdot x^{\frac{3-5-4}{6}}$$

$$=x^{\frac{-6}{6}}+2\cdot x^{\frac{-6}{6}}$$

$$=x^{-1}+2\cdot x^{-1}$$

$$=3x^{-1}=\frac{3}{x}$$